Kvaziaritmetický průměr

Průměry jako aritmetický, geometrický či harmonický jsou důvěrně známy každému studentovi střední školy. Co ale skrývá pojem „kvaziaritmeický průměr“? Obecně tento pojem zahrnuje všechny zmíněné průměry. Jedná se určité zobecnění průměrů pomocí funkce více proměnných.

Definice
Kvaziaritmetický vážený průměr hodnot $a_1,\ldots,a_n$ s váhou $w_1,\ldots,w_n$ je vyjádřen výrazem

$F\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i F^{-1}\left(a_i \right)}{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i} \right),$

kde $F$ je ryze monotónní funkce na intervalu $I \subset \R$ , $w_1,\ldots,w_n$ jsou nezáporná reálná čísla a $a_1,\ldots,a_n \in F\left( i\right)$ jsou libovolná reálná čísla.

Pro naše potřeby budeme brát v potaz $i=1,2$ , $w_1=w_2=1$ , $a_1=a > 0$ , $a_2=b > 0$ . Pak

$F\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i F^{-1}\left(a_i \right)}{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i} \right) = F\left( \frac{F^{-1}\left(a \right) + F^{-1}\left(b \right) }{2} \right)$

a dále pro $r\in \left[-\infty, \infty \right]$ definujeme

$M\left(r \right) = F_r\left( \frac{F_r^{-1}\left(a \right) + F_r^{-1}\left(b \right) }{2} \right),$

kde

$F_r\left(x \right) =\begin{cases} x^{\frac{1}{r}} & \quad \textrm{pro } -\infty < r < 0 \cup 0 < r < \infty, \\ \max\left(a,b\right) & \quad \textrm{pro } r = \infty, \\ \min\left(a,b\right) & \quad \textrm{pro } r = -\infty, \\ \textrm{e}^{ x } & \quad \text{pro } r = 0. \end{cases}$

Věta
Funkce $M\left(r \right)$ je rostoucí na $\left[-\infty, \infty\right]$ .

Z této věty nám plyne dobře známá nerovnost mezi harmonickým, geometrickým a aritmetickým průměrem:

$\textbf{H} = M\left(-1 \right) \leq \textbf{G} = M\left(0 \right) \leq \textbf{A} = M\left(1 \right).$

Nyní si odvodíme jednotlivé průměry pro $r=-1,\ r=0,\ r=1$ .

Aritmetický průměr $\textbf{A}=M\left(1 \right),\ F_{1}\left(x \right)=x$

$F_1\left( \frac{F_1^{-1}\left(a \right) + F_1^{-1}\left(b \right)}{2} \right)= F_1\left(\frac{a+b}{2} \right) = \frac{a+b}{2},$

Geometrický průměr $\textbf{G}=M\left(0 \right),\ F_{0}\left(x \right)=\textrm{e}^{x}$

$\begin{array}{l} F_0\left( \frac{F_0^{-1}\left(a \right) + F_0^{-1}\left(b \right)}{2} \right)= F_0\left(\frac{\ln(a)+\ln(b)}{2} \right) = \textrm{e}^{\frac{\ln(a)+\ln(b)}{2}} =\\ \left(\textrm{e}^{\ln(a)+\ln(b)} \right)^{\frac{1}{2}} = \left(\textrm{e}^{\ln(ab)} \right)^{\frac{1}{2}} = \left(ab \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ab}, \end{array}$

Harmonický průměr $\textbf{H}=M\left(-1 \right),\ F_{-1}\left(x\right)=x^{-1}$

$\begin{array}{l} F_{-1}\left( \frac{F_{-1}^{-1}\left(a \right) + F_{-1}^{-1}\left(b \right)}{2} \right)= F_{-1}\left(\frac{a^{-1}+b^{-1}}{2} \right) = F_{-1}\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \right)=\\ \left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \right)^{-1}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}. \end{array}$