Aritmetický průměr

Aritmetický průměr libovolných kladných čísel $a$ a $b$ je nalezením maxima funkce dvou proměnných

$f\left(x,y \right) = xy$

vzhledem k vazbě

$x+y=a+b.$

Řešíme nalezení vázaných extrémů funkce $f\left(x,y \right)=xy$ s vazbou $x+y =\left(a+b \right)$ .

Proto vyjádříme proměnnou $y$ z podmínky.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} x+y & = & a+b\\\nonumber y & = & a+b-x \end{array} \end{equation*}$

Nyní do funkce $f\left(x,y \right)$ dosadíme za proměnnou $y$ výraz $a+b-x$ . Tím dostaneme funkci jedné proměnné a to proměnné $x$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & x\cdot\left(a+b-x \right)\nonumber\\ f\left(x \right) & = & ax + bx - x^2\\ f\left(x \right) & = & -x^2+\left(a+b \right)x \end{array} \end{equation*}$

Pro vyšetření průběhu funkce jedné proměnné využijeme postupně první a druhé derivace funkce. Pomocí první derivace zjistíme stacionární body, tedy body podezřelé z extrémů. Pomocí druhé derivace rozhodneme zda v bodě existuje extrém, případně o jaký extrém se jedná.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & -x^2+\left(a+b \right)x\nonumber\\ f'\left(x \right) & = & -2x + a+b \end{array} \end{equation*}$

Pro nalezení stacionárních bodů položíme první derivaci rovnu nule.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f'\left(x \right) & = & 0\\\nonumber -2x + a + b & = & 0\\ -2x & = & - a-b \\ x &=& \dfrac{a+b}{2} \end{array} \end{equation*}$

Zjistili jsme, že bod $x=\dfrac{a+b}{2}$ je bodem stacionárním. Nyní za pomoci hodnoty druhé derivace zjistíme, zda je v bodě extrém, případně o jaký druh extrému se jedná. Druhá derivace vypadá následovně.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f'\left(x \right) & = & -2x + a + b\\\nonumber f''\left(x \right) & = & -2 \end{array} \end{equation*}$

Hodnota druhé derivace v bodě $x=\dfrac{a+b}{2}$ je záporná, funkce $f\left(x \right)$ nabývá v bodě $x=\dfrac{a+b}{2}$ svého maxima. Vypočítáme funkční hodnotu $f\left(x \right)$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & -x^2+\left(a+b \right)x\\\nonumber f\left(x \right) & = & -\left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2 +\left(a+b \right)\dfrac{a+b}{2}\\ f\left(x \right) &=& -\dfrac{\left(a+b \right)^2}{4}+\dfrac{\left(a+b \right)^2}{2}\\ f\left(x \right) & = & \dfrac{\left(a+b \right)^2}{4}\\ f\left(x \right) & = & \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \end{array} \end{equation*}$

Funkce $f\left(x \right) = -x^2+\left(a+b \right)x$ je funkce kvadratická, jejím grafem je parabola. Funkce $f\left(x \right) = -x^2+\left(a+b \right)x$ nabývá v bodě $\left[\dfrac{a+b}{2}, \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\right]$ svého maxima. Bod se rovněž nazývá vrchol paraboly.

Nyní vypočteme hodnotu proměnné $y$ , kterou jsme na počátku vyjádřili jako $y=a+b-x$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} y & = & a+b - x \\\nonumber y & = & a+b - \dfrac{a+b}{2}\\ 2y &=& 2a + 2b - a- b\\ 2y & = & a+ b\\ y & = & \dfrac{a+b}{2} \end{array} \end{equation*}$

Hledáním vázaného extrému funkce $f\left(x,y \right)=xy$ s vazbou $x+y=a+b$ jsme převedli na hledání extrému funkce $f\left(x \right)=-x^2+\left(a+b \right)x$ . Následným dopočítáním hodnoty proměnné $y$ jsme ukázali, že daná funkce má v bodě $\left[\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{a+b}{2}\right]$ maximum.

Lze vidět, že řešením nalezení maxima funkce $f\left(x,y \right) = xy$ s vazbou $x+y=a+b$ je aritmetický průměr těchto čísel.

Ukážeme geometrickou interpretaci zadání. Vykreslíme graf funkce $f\left(x,y \right) = xy$ a vazební podmínky $x+y=a+b$ . Funkce $f\left(x,y \right)=xy$ je hyperbolický paraboloid a vazební podmínka $x+y-a-b=0$ je rovinou.

Pro vykreslení vazební podmínky zvolíme za $a=1$ a za $b=5$ . Uvedeme více obrázků a tím ukážeme více pohledů na jeden graf. Při sestrojení grafu v počítačovém programu můžeme daným grafem pohybovat a otáčet pro různé pohledy. Tím, že zvolíme konkrétní čísla za $a$ a $b$ vykreslíme danou podmínku jako rovinu. Naší volbou se bude jednat o rovinu $x+y-6=0$ . Rovnice $x+y-6=0$ udává množinu bodů $x$ a $y$ , které mají tu vlastnost, že jejich součet je roven číslu $6$ . Toto bylo patrné již při zadání podmínky $x+y=a+b$ . Hledáme čísla $x$ a $y$ taková, že mají stejný součet jako čísla $a$ a $b$ . Na obrázku vidíme, že rovina protíná osou $x$ v bodě $6$ . Stejně tak rovina protíná osou $y$ v bodě $6$ .

Na obrázku vidíme vykreslení funkcí v prostoru. Jejich průnikem je parabola, kterou jsme zkonstruovali na obrázku. Zeleně je znázorněný bod, který je hledaným maximem. Našli jsme maximum funkce $f\left( x,y \right)=xy$ s vazbou $x+y-6=0$ . Souřadnice maxima jsou $\left[3,3,9\right]$ . Souřadnice jsou patrné z předpisu funkce $f\left(x,y \right)=xy$ . Ukázali jsme, že maximum je v bodě $\left[\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{a+b}{2} \right]$ . Pro naši volbu $a=1$ a $b=5$ máme $x=y=3$ . Po výpočtu funkční hodnoty $f\left(x,y \right)=3\cdot 3$ vidíme, že hodnota funkce je $9$ .

Následující obrázek ukazuje stejný graf, pouze z jiného úhlu pohledu. Opět je zde vidět hledané maximum. Pokud příklad přeneseme do roviny, jako jsme to udělali při hledání extrému, pak by maximum mělo souřadnice $\left[ 3,9\right]$ pro naši volbu $a=1$ a $b=5$ .