Geometrický průměr

Geometrický průměr libovolných kladných čísel $a$ a $b$ je nalezením minima funkce dvou proměnných

$f\left(x,y \right) = x+y$

vzhledem k vazbě

$xy=ab.$

Řešíme nalezení vázaných extrémů funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ s vazbou $xy = ab$ .

Vyjádříme proměnnou $y$ z podmínky.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} xy & = & ab\\\nonumber y & = & \dfrac{ab}{x} \end{array} \end{equation*}$

Do funkce $f\left(x,y \right)$ dosadíme za proměnnou $y$ výraz $\dfrac{ab}{x}$ . Dostaneme funkci jedné proměnné $x$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & x + \dfrac{ab}{x}\nonumber\\ \end{array} \end{equation*}$

Při hledání extrémů funkce budeme postupovat stejně jako u průměru aritmetického. Z první derivace funkce $f\left(x \right)$ nalezneme stacionární body. Pomocí druhé derivace rozhodneme o extrémech v těchto bodech.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & x + \dfrac{ab}{x}\nonumber\\ f'\left(x \right) & = & 1+\dfrac{-ab}{x^2}\\ f'\left(x \right) & = & 1-\dfrac{ab}{x^2} \end{array} \end{equation*}$

Stacionární body nalezneme položením první derivace rovnu nule.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f'\left(x \right) & = & 0\\\nonumber 1-\dfrac{ab}{x^2} & = & 0\\ \dfrac{ab}{x^2} & = & 1 \\ ab &=& x^2\\ x_{1,2} & = & \pm \sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Nalezli jsme dva stacionární body funkce $f\left(x \right)$ . Prvním stacionárním bodem je bod $x_1 = \sqrt{ab}$ . Druhým stacionárním bodem je bod $x_2 = -\sqrt{ab}$ . Body $x_1$ a $x_2$ jsou body podezřelé z extrémů. Při rozhodnutí o tom, zda v bodech jsou extrémy, využijeme opět hodnoty druhé derivace v daných bodech. Druhá derivace má následující podobu.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f'\left(x \right) & = & 1-\dfrac{ab}{x^2}\\\nonumber f''\left(x \right) & = & -\dfrac{-ab\cdot 2x}{x^4}\\ f''\left(x \right) & = & \dfrac{2abx}{x^4}\\ f''\left(x \right) & = & \dfrac{2ab}{x^3} \end{array} \end{equation*}$

Hodnota druhé derivace v bodě $x_1=\sqrt{ab}$ je $f''\left(x_1 \right) = \dfrac{2ab}{\sqrt{ab}} = \dfrac{2ab}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}$ . Funkční hodnota odmocniny je vždy kladná, proto je hodnota druhé derivace v bodě $x_1=\sqrt{ab}$ kladná. Funkce $f\left(x \right) = x+\dfrac{ab}{x}$ nabývá v bodě $x_1=\sqrt{ab}$ svého minima. Spočítáme funkční hodnotu $f\left(x_1 \right)$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & -x^2+\left(a+b \right)x\\\nonumber f\left(x_1 \right) & = & \sqrt{ab} + \dfrac{ab}{\sqrt{ab}}\\ f\left(x_1 \right) & = & \sqrt{ab} + \dfrac{ab}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ f\left(x_1 \right) & = & \sqrt{ab} + \dfrac{ab\sqrt{ab}}{ab}\\ f\left(x_1 \right) & = & 2\sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Druhá derivace $x_2=-\sqrt{ab}$ má hodnotu $f''\left(x_2 \right) = \dfrac{2ab}{-\sqrt{ab}} = -\dfrac{2ab}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=-2\sqrt{ab}$ . Hodnota druhé derivace v bodě $x_2=-\sqrt{ab}$ je záporná, protože funkční hodnota druhé odmocniny je kladná. Funkce $f\left(x \right) = x+\dfrac{ab}{x}$ nabývá v bodě $x_2=-\sqrt{ab}$ svého maxima. Vypočítáme funkční hodnotu $f\left(x_2 \right)$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} f\left(x \right) & = & -x^2+\left(a+b \right)x\\\nonumber f\left(x_2 \right) & = & -\sqrt{ab} + \dfrac{ab}{-\sqrt{ab}}\\ f\left(x_2 \right) & = & -\sqrt{ab} - \dfrac{ab}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ f\left(x_2 \right) & = & -\sqrt{ab} - \dfrac{ab\sqrt{ab}}{ab}\\ f\left(x_2 \right) & = & -2\sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Funkce $f\left(x \right) = x+\dfrac{ab}{x}$ je lineárně lomená funkce. Jejím grafem je hyperbola. Funkce $f\left(x \right) = x+\dfrac{ab}{x}$ nabývá v bodě $\left[\sqrt{ab}, 2\sqrt{ab}\right]$ svého minima a v bodě $\left[-\sqrt{ab}, -2\sqrt{ab}\right]$ svého maxima.

Vypočteme hodnotu proměnné $y$ , kterou jsme vyjádřili z vazební podmínky. Výpočet provedeme postupně pro hodnoty $x_1$ a $x_2$ . Nejdříve výpočet provedeme pro hodnotu $x_1$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} y & = & \dfrac{ab}{x} \\\nonumber y & = & \dfrac{ab}{\sqrt{ab}}\\ y &=& \dfrac{ab}{\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ y & = & \dfrac{ab\sqrt{ab}}{ab}\\ y & = & \sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Nyní provedeme výpočet pro hodnotu $x_2$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} y & = & \dfrac{ab}{x} \\\nonumber y & = & \dfrac{ab}{-\sqrt{ab}}\\ y &=& \dfrac{ab}{-\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ y & = & -\dfrac{ab\sqrt{ab}}{ab}\\ y & = & -\sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Hledáním vázaného extrému funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ s vazbou $xy=ab$ jsme převedli problém na hledání extrému funkce $f\left(x \right)=x+\dfrac{ab}{x}$ . Následujícím vypočítáním hodnoty proměnné $y$ jsme ukázali, že daná funkce má v bodě $\left[\sqrt{ab}, \sqrt{ab} \right]$ minimum a v bodě $\left[-\sqrt{ab},-\sqrt{ab} \right]$ maximum.

Z výsledků je patrné, že řešením nalezení minima funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ s vazbou $xy=ab$ je geometrický průměr čísel $a,\ b$ .

Opět ukážeme geometrickou interpretaci zadání. Vykreslíme graf funkce $f\left(x,y \right) = x + y$ s vazební podmínkou $xy=ab$ . Funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ je rovina a vazební podmínka $xy-ab=0$ je hyperbolická válcová plocha.

Pro vykreslení vazební podmínky opět zvolíme za $a=1$ a za $b=5$ . Volbou konkrétních čísel za parametry $a$ a $b$ vykreslíme danou podmínku jako hyperbolickou válcovou plochu. Při naší volbě parametrů bude mít hyperbolická válcová plocha rovnici $xy-5=0$ . Rovnice $xy-5=0$ udává množinu bodů $x$ a $y$ , které mají tu vlastnost, že jejich součin je roven číslu $5$ . Toto bylo opět patrné již při zadání podmínky $xy=ab$ , tudíž hledáme čísla $x$ a $y$ taková, že mají stejný součin jako čísla $a$ a $b$ .

Obrázek ukazuje grafické znázornění funkcí v prostoru. Jejich průnikem je hyperbola, která byla zkonstruována na obrázku výše. Zeleně je znázorněný bod, který je hledaným minimem. Druhý extrém, maximum pro hodnotu $x=-\sqrt{ab}$ můžeme vidět také, ale není již explicitně označen.

Našli jsme minimum funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ s vazbou $xy-5=0$ . Souřadnice minima jsou $\left[\sqrt{5}, \sqrt{5}, 2\sqrt{5} \right]$ . Souřadnice jsme dopočítali z předpisu funkce $f\left(x,y \right)=x+y$ .

Opět ukážeme stejný graf z jiného úhlu pohledu. Kdybychom průnik funkcí přenesli do roviny, dostali bychom hyperbolu stejnou jako na obrázku výše. Opět je zde vidět hledané minimum.