Aritmetický průměr

Definice

Aritmetický průměr čísel $x_1, x_2, \ldots, x_n$ je

$A\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right) = \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}.$

Můžeme se setkat s tímto zápisem $A\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right)=\frac{\sum\limits^n_{i=1}x_i}{n}=\frac{1}{n}\sum\limits^n_{i=1}x_i$ , který vyjadřuje totéž. Také lze obecně říci, že aritmetický průměr je číslo, které dostaneme sečtením hodnot a podělením jejich počtem. Aritmetický průměr čísel $1$ a $5$ je $A\left(1,5 \right) = \frac{1+5}{2}=3.$

Lidé mají obecně vžitý jen název průměr, ale správněji je aritmetický průměr. Z hlediska statistiky nemusí být aritmetický průměr vždy řešením, které nám ukáže požadované výsledky. Například průměrná známka z matematiky ve třídě je dvojka, ale to nám neřekne, že se ve třídě nachází žáci s jedničkami, a že ve třídě jsou žáci, kteří mají čtyřku. Víme jen, že průměrná známka ve třídě je dvojka. Na vysokých školách jsou studenti hodnoceni písmeny A, B, C, D, E a F. Tyto písmena zastupují známky a mají hodnotu 1, 1-, 2, 2-, 3 a 4. Kdybychom nevěděli, že mají takovou hodnotu, pak nemůžeme spočítat průměrnou známku, protože v kapitole Průměry čísel v matematice jsme řekli, že průměry se budeme zabývat u kvantitativního statistického znaku.

Nicméně my se statistikou zabývat nebudeme, takže se jedná jen o radu do budoucna. V dalších kapitolách si ukážeme také příklady, které by čtenáři mohli na první pohled řešit pomocí aritmetického průměru, ale bylo by to špatně.

Typové úlohy

Úloha

Je dán obdélník se stranami $a=4$ cm, $b=9$ cm. Jak dlouhou stranu má čtverec, který má stejný obvod, jako daný obdélník?

Řešení

Obvod obdélníku je $o=26$ cm. Obvod čtverce je stejný, proto ponecháme stejné označení. Máme nalézt stranu čtverce $a'$ takovou, aby měl stejný obvod jako obdélník. Víme, že součet stran v obdélníku musí být stejný jako součet stran ve čtverci. Pro obvod čtverce platí $o=4a'$ . Pokud máme $o=26$ , pak $a'=\dfrac{26}{4}=6,5$ . Čtverec o stejném obvodu má délku strany $a'=6,5$ cm.

Spočteme-li aritmetický průměr délek stran $a$ a $b$ , dostaneme právě naši hledanou délku strany $a'$ . $A\left(4,9 \right) = \dfrac{4+9}{2}=6,5$ . Pro názornost se můžeme podívat na následující obrázek.

Úloha

Automobil jel první hodinu konstantní rychlostí $a = 80$ km/h. Další hodinu jel konstantní rychlostí $b=120$ km/h. Jakou konstantní rychlostí by musel automobil jet po dobu dvou hodin, aby urazil stejnou vzdálenost?

Řešení

Automobil jel dvě hodiny a každou hodinu jel jinou stálou rychlostí. První hodinu urazil vzdálenost 80 kilometrů a druhou hodinu urazil vzdálenost 120 kilometrů. Za dvě hodiny automobil ujel 200 km. Pro výpočet rychlosti využijeme vzorce z fyziky $\textrm{rychlost} = \dfrac{\textrm{draha}}{\textrm{cas}}$ . Dráha je 200 km a čas je 2 hodiny. Rychlost dostaneme jako $\dfrac{200}{2}$ . Průměrná rychlost automobilu by musela být 100 km/h.

Pro průměrnou rychlost jme mohli v tomto případě použít aritmetického průměru čísel 80 a 120. $A\left(80,120 \right)=\dfrac{80+120}{2}=100.$