Geometrický průměr

Definice

Geometrický průměr čísel $x_1,x_2,\ldots,x_n$ je

$G\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}.$

Zde se opět můžeme setkat s odlišným zápisem. Může se například jednat o výraz $G\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right)=\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^nx_i}=\left(\prod\limits_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{2}}$ . Geometrický průměr můžeme definovat jako n-tou odmocninu součinu $n$ hodnot. Geometrický průměr čísel $1$ a $5$ je $G\left(1,5 \right) = \sqrt{1\cdot 5} = \sqrt{5}$ .

Geometrický průměr je méně používaný, ale určitě má svůj význam. Geometrický průměr používáme hojně při sledování průměrného tempa růstu za jedno období.

Typové úlohy

Úloha

Je dán obdélník se stranami $a=4$ cm, $b=9$ cm. Vypočítejte stranu čtverce, který má stejný obsah, jako daný obdélník.

Řešení

Obsah obdélníku je $S=36\textrm{ cm}^2$ . Obsah čtverce je stejný, proto ponecháme stejné označení. Máme nalézt stranu čtverce $a'$ takovou, aby měl stejný obsah jako obdélník. Pro obsah čtverce platí $S=a\cdot a$ . Pokud máme $S=36$ , výpočtem zjistíme délku strany $a'$ . z rovnice $36=a'\cdot a'$ si vyjádříme $a'=\sqrt{36}$ a následně vypočteme $a'=6$ . Čtverec, který má stejný obsah jako zadaný obdélník, má délku strany $a'=6$ cm.

Ke stejnému výsledku dojdeme i výpočtem geometrického průměru čísel 4 a 9. $G\left(4,9 \right) = \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ . Pro názornost se můžeme podívat na následující obrázek.

Úloha

Je dán kvádr se stranami $a=1$ cm, $b=3$ cm a $c=9$ cm. Určete délku strany krychle, která má stejný objem jako daný kvádr.

Řešení

Objem kvádru je $V=27\textrm{ cm}^3$ . Objem krychle má být stejný. Máme nelézt stranu krychle $a'$ takovou, aby měla stejný objem jako kvádr. Pro objem krychle platí $V=a'\cdot a'\cdot a'$ . Pokud máme $V=27$ , výpočtem zjistíme délku strany $a'$ . z rovnice $V=a'\cdot a'\cdot a'$ si vyjádříme $a'=\sqrt[3]{27}$ a následně spočteme $a'=3$ . Krychle, která má stejný objem jako zadaný kvádr má délku strany $a'=3$ cm.

Stejného výsledku dostaneme, pokud vypočítáme geometrický průměr zadaných stran. $G\left(1,3,9 \right) = \sqrt[3]{1\cdot 3\cdot 9}=\sqrt[3]{27} = 3$ . Daný příklad je graficky znázorněn na obrázku níže.

Úloha

Obchodník prodával jeden kus zboží za 100 Kč. Rozhodl se jej zdražit o 20 % na 120 % hodnoty. Následně obchodník zdražil zboží o dalších 30 % na 130 % z již zvýšené hodnoty. o kolik průměrně obchodník zdražil zboží při jednom zdražení?

Řešení

Na začátek spočteme kolik zboží stálo po celkovém zdražení. Tato hodnota nám následně bude sloužit pro kontrolu, zda jsme počítali správně. Cena zboží po prvním zdražení byla $100\cdot 1,2=120$ Kč. Po druhém zdražení zboží stálo $120\cdot 1,3=156$ Kč. Vidíme, že první koeficient růstu byl $1,2$ a druhý koeficient růstu byl $1,3$ . My vypočítáme průměrný koeficient.

Sestavíme rovnici $100\cdot x \cdot x = 156$ . Neznámá $x$ je námi hledaný průměrný koeficient. Rovnici nyní vyřešíme.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} 100\cdot x \cdot x & = & 156 \\\nonumber x^2 &=& \dfrac{156}{100}\\ x & = & \pm\sqrt{\dfrac{156}{100}}\\ x & = & \pm\sqrt{1,56} \end{array} \end{equation*}$

Jelikož počítáme růst, pak budeme uvažovat jen kladnou hodnotu a to $\sqrt{1,56}$ . Výpočtem pro ověření $100 \cdot \sqrt{1,56}\cdot\sqrt{1,56}=156$ zjistíme, že jsme počítali správně.

Výsledku bychom se dobrali i kdybychom na začátku využili geometrického průměru obou koeficientů růstu. $G\left(1,2;1,3 \right) = \sqrt{1,2\cdot 1,3} = \sqrt{1,56}$ . Mnozí lidé by využili aritmetického průměru $A\left(1,2;1,3 \right) = \dfrac{1,2+1,3}{2} = 1,25$ . Bohužel po ověření $100 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 156,25$ by došli k závěru, že počítali špatně.

Jak vidíme z úlohy výše, tak výběr konkrétního průměru je důležitý. Vždy je nutné si řádně rozmyslet, který z průměrů použijeme při našich výpočtech. Úloha nám ukazuje, že při použití aritmetického průměru dostáváme špatný výsledek.