Harmonický průměr

Definice

Harmonický průměr čísel $x_1,x_2,\ldots,x_n$ je

$H\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right) = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}.$

Jiný zápis pro harmonický průměr může být $H\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right) = \dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$ . Jedná se o

převrácenou hodnotu aritmetického průměru převrácených hodnot zadaných čísel. Harmonický průměr čísel $1$ a $5$ je $H\left(1,5 \right)=\dfrac{2}{\frac{1}{1}+\frac{1}{5}}=\dfrac{5}{3}$ .

Harmonický průměr je také méně používaný, ale také nalezne své uplatnění. Pomocí harmonického průměru můžeme například počítat příklady na průměrnou práci, průměrnou rychlost, atd.

Typové úlohy

Úloha

Určete průměrnou konstantní rychlost automobilu, který jede z místa A do místa B stálou rychlostí $a = 80$ km/h a zpět z místa B do místa A stálou rychlostí $b = 120$ km/h.

Řešení

Vzdálenost mezi místy A a B si označme $s$ . Dobu jízdy z místa A do místa B si označme $t_1$ a dobu jízdy z místa B do místa A si označme $t_2$ . Pak je průměrná rychlost $p$ rovna vzorci $p=\dfrac{2s}{t_1 + t_2}$ . Dosadíme-li za čas $t_1=\dfrac{s}{v_1}$ a za čas $t_2=\dfrac{s}{v_2}$ . Hodnoty $v_1,v_2$ již známe ze zadaní. Vzorec upravíme $p= \dfrac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}= \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ a následně dosadíme $p=\dfrac{2}{\frac{1}{80}+\frac{1}{120}}=96$ . Průměrná rychlost je $96$ km/h.

Stejného výsledku bychom dostali, kdybychom vypočítali harmonický průměr čísel 80 a 120. $H\left(80,\ 120 \right)=\dfrac{2}{\frac{1}{80}+\frac{1}{120}}=96$ . Vidíme, že hodnota $p$ je stejná jako harmonický průměr hodnot $80,\ 120$ .

Úloha

Tři popelky přebírají hromadu hrachu. První popelka by ho přebrala za $a = 2$ hodiny, druhá za $b = 3$ hodiny a třetí za $c = 6$ hodin. Za jak dlouho by přebrala hromadu „průměrná popelka“?

Řešení
První popelka přebere za jednu hodinu $\dfrac{1}{2}$ hromady hrachu. Druhá popelka přebere za hodinu $\dfrac{1}{3}$ hromady hrachu a třetí popelka přebere za hodinu $\dfrac{1}{6}$ hromady hrachu. První popelka za $x$ hodin přebere $\dfrac{x}{2}$ hromady hrachu, druhá popelka přebere $\dfrac{x}{3}$ hromady hrachu a třetí popelka přebere $\dfrac{x}{6}$ hromady hrachu. Hromadu hrachu označíme $h$ . Sestavíme rovnici reflektující práci popelek.

$h\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} \right) = 3h$

Rovnice charakterizuje naši situaci. Hledáme $x$ , což je počet hodin, které musí průměrná Popelka pracovat, aby udělala stejnou práci jako ostatní popelky. Na pravé straně máme $3h$ , protože každá z popelek udělá jednu hromadu hrachu $h$ .Nyní vyřešíme rovnici, kterou jsme sestavili.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} h\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} \right) &=& 3h\\\nonumber \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} & = & 3 \\ \dfrac{6x}{ 6} & = & 3 \\ x & = & 3 \end{array} \end{equation*}$

Průměrné popelce by přebrání hromady hrachu trvalo 3 hodiny. Stejného výsledku bychom dostali vypočtením harmonického průměru čísel 2, 3 a 6. \\
$H\left(2,3,6 \right) = \dfrac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = 3$ .

Pokud bychom uvažovali, že popelky budou pracovat na jedné hromadě, pak se nám náš výpočet modifikuje takto $h\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} \right) = h$ . Na pravé straně bude dohromady jen jedna hromada, ne tři jako původně. Provedeme výpočet.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} h\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} \right) &=& h\\\nonumber \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} & = & 1 \\ \dfrac{6x}{ 6} & = & 1 \\ x & = & 1 \end{array} \end{equation*}$

Výpočtem jsme dostali třetinu původního výsledku. Kdyby popelky pracovaly na jedné hromadě hrachu, pak by ji přebraly za jednu hodinu. Často tímto stylem bývají zadané úlohy na společnou práci.

Úloha

Žaneta nasbírá kilogram ovoce za $2,25$ hodiny. Ondřej nasbírá kilogram ovoce za $1,5$ hodiny. Za jak dlouho nasbírají společně kilogram ovoce?

Řešení
Úlohu máme zadanou tak, že chceme spočítat čas, za jak dlouho nasbírají kilogram ovoce dohromady. Kdybychom chtěli spočítat, za jak dlouho průměrně nasbírají kilogram ovoce, pak bychom využili harmonický průměr jako jsme to předvedli v předcházejícím příkladě. Výpočet by vypadal $H\left(2,25;1,5 \right)=\dfrac{2}{\frac{1}{2,25}+\frac{1}{1,5}}=1,8$ . Takto by ale Žaneta i Ondřej nasbírali každý jeden kilogram ovoce. Měli bychom jednou tolik než potřebujeme. My si upravíme vzorec pro harmonický průměr pro konkrétní příklad. Budeme počítat $\dfrac{1}{\frac{1}{2,25}+\frac{1}{1,5}}=0,9$ hodiny. Touto úpravou jsme si díky čitateli zlomku zajistili, že nás zajímá pouze kilogram ovoce a ne dva, jako tomu bylo přímo u harmonického průměru. Takovou modifikaci provádíme dosti často, chceme-li počítat společnou práci.Je nutné připomenout, že po úpravě vzorce již nepočítáme harmonický průměr zadaných čísel, ale díky znalosti vzorce pro harmonický průměr jsme si odvodili vzorec pro konkrétní použití.