Pro výše zmíněné průměry platí určitý vztah. Tento vztah byl již zmíněn v kapitole ??. Tohoto vztahu se může využívat u různých matematických úloh. Objevují se v matematických soutěžích, jako je například matematická olympiáda.
Při dokazování se omezíme na jednoduché důkazy, které mohou být předvedeny žákům základní či střední školy. Dokazovat budeme jen pro dvě hodnoty, ne obecně pro 
hodnot, jak by to matematický důkaz vyžadoval. Ukážeme si důkazy, ze kterých bude plynout následující nerovnost
![\[\textbf{H}\leq \textbf{G}\leq \textbf{A},\]](http://prumery.tode.cz/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47210913d3140e6579157ae16989689f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")