Algebraický důkaz

Provedeme si důkaz nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem tak, jak by mohl být prezentován žákům.

Chceme dokázat, že $\textbf{G}\leq \textbf{A}$ . Důkaz provedeme pro dvě čísla $a > 0$ a $b>0$ . Budeme upravovat následující nerovnost.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcll} \sqrt{ab}&\leq & \dfrac{a+b}{2} & \qquad \vert^2 \nonumber\\ ab & \leq & \left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2 & \qquad \\ ab & \leq & \dfrac{\left(a+b \right)^2}{4} & \qquad\vert\cdot 4 \\ 4ab & \leq & a^2 + 2ab +b^2 &\qquad\vert -4ab\\ 0 & \leq & a^2-2ab+b^2 & \\ 0 & \leq & \left(a-b \right)^2 & \end{array} \end{equation*}$

Poslední nerovnost jednoznačně platí, protože druhá mocnina čísla je vždy větší nebo rovna nule. Jelikož jsme postupnými úpravami došli k platné nerovnosti, prohlásíme za pravdivou i naši první nerovnost. Důkaz $\textbf{G}\leq\textbf{A}$ máme hotový.

Nyní se dáme do důkazu $\textbf{H}\leq \textbf{G}$ . Důkaz opět provedeme pro dvě čísla $a>0$ a $b>0$ . Využijeme výše dokázané nerovnosti $\textbf{G}\leq\textbf{A}$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcll} \sqrt{ab}&\leq & \dfrac{a+b}{2} & \qquad \vert\cdot\sqrt{ab} \nonumber\\ ab & \leq & \dfrac{a+b}{2}\cdot\sqrt{ab} & \qquad\vert\cdot\dfrac{2}{a+b} \\ \dfrac{2ab}{a+b} & \leq & \sqrt{ab} & \\ \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} & \leq & \sqrt{ab} \end{array} \end{equation*}$

Vidíme, že důkaz této nerovnosti byl ještě jednodušší než předchozí. Využili jsme již dokázané nerovnosti a pomocí úprav jsme dostali náš požadovaný tvar. Jelikož platila výchozí nerovnost, pak platí i nerovnost $\textbf{H}\leq \textbf{G}$ .

Z výše dokázaných částí plyne, že $\textbf{G} \leq \textbf{A}$ a $\textbf{H}\leq \textbf{G}$ . Složením dostaneme $\textbf{H} \leq \textbf{G} \leq \textbf{A}$ a toto je nerovnost, kterou jsme původně chtěli dokázat.