Geometrický důkaz

Nejprve si ukážeme grafické interpretace jednotlivých průměrů a následně si výsledky porovnáme, čímž dokážeme nerovnost $\textbf{H}\leq \textbf{G} \leq \textbf{A}$ .

Geometrická interpretace aritmetického průměru

Geometrickou interpretaci aritmetického průměru reálných čísel $a,b > 0$ si představíme jako poloměr kružnice sestrojené nad úsečkou $AB$ délky $a+b$ .

Geometrická interpretace geometrického průměru

Geometrickou interpretaci geometrického průměru reálných čísel $a,b > 0$ demonstrujeme za pomocí Eukleidovy věty o výšce. Sestrojíme si úsečku $AB$ délky $a+b$ . Nad touto úsečkou sestrojíme Thaletovu kružnici. Bod, který leží na úsečce a jehož vzdálenost od bodu $A$ je $a$ si označíme $P$ . v tomto bodě sestrojíme kolmici, která protne Thaletovu kružnici v bodě $C$ . Velikost úsečky $PC$ je geometrickým průměrem čísel $a,b$ . z Eukleidovy věty o výšce víme, že $\vert PC \vert^2=a\cdot b$ , následně $\vert PC\vert = \sqrt{ab}$ .

Geometrická interpretace harmonického průměru

Geometrickou interpretaci harmonického průměru reálných čísel $a,b > 0$ demonstrujeme za pomocí Eukleidovy věty o výšce a Pythagorovy věty. Využijeme obou předchozích obrázků a sestrojíme si do jednoho obrázku aritmetický i geometrický průměr tak, aby vytvořili $\triangle PSC$ , kde $\vert PC\vert = \sqrt{ab}$ je geometrický průměr čísel $a,b$ a $\vert SC \vert = \dfrac{a+b}{2}$ je aritmetický průměr čísel $a,b$ . k úsečce $SC$ sestrojíme kolmici, která prochází bodem $P$ . Patu kolmice si označíme $Q$ a velikost $QC$ si označíme $h$ . Dle Eukleidovy věty o výšce vidíme, že v $\triangle SPC$ platí $\vert PQ \vert^2 = h \cdot \left(\dfrac{a+b}{2} - h \right)$ . Navíc dle Pythagorovy věty v $\triangle PQC$ platí, že $\vert PQ \vert^2 = \left(\sqrt{ab} \right)^2 - h^2$ . Porovnáme – li oba výrazy, pak dostaneme

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} h \cdot \left(\dfrac{a+b}{2} - h \right)&= & \left(\sqrt{ab} \right)^2 - h^2 \nonumber\\ h\cdot\dfrac{a+b}{2}-h^2 & = & ab - h^2\\ h\cdot\dfrac{a+b}{2} & = & ab\\ h & = & \dfrac{2ab}{a+b}\\ h & = & \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}, \end{array} \end{equation*}$

což je náš hledaný harmonický průměr. Nyní si to vše graficky znázorníme.

Geometrický důkaz nerovnosti

Díky výše vyjádřeným geometrickým interpretacím si nyní můžeme dovolit geometricky dokázat nerovnost $\textbf{H}\leq \textbf{G} \leq \textbf{A}$ . Pro znázornění nerovnosti složíme všechny obrázky do jednoho a pomocí posunu znázorníme všechny velikosti průměrů na jednu úsečku.

Vidíme, že určitě platí nerovnost $\vert CQ \vert \leq \vert CP' \vert \leq \vert CS \vert$ . Jenže $\vert CQ \vert = \textbf{H}$ , $\vert CP' \vert=\textbf{G}$ a $\vert CS \vert=\textbf{A}$ a platí nerovnost $\textbf{H}\leq \textbf{G} \leq \textbf{A}$ .

Tyto jednoduché důkazy mohou být prezentovány žákům na základní či střední škole. Důkaz sám o sobě pomůže žákům hlouběji pochopit danou nerovnost, případně dané látce lépe porozumět.