Průměr čísel v matematice

Průměr čísel v matematice je primárně pojem z oblasti statistiky. Jedná se o některé z charakteristik poloh znaku statistického souboru. Statistickým souborem je myšlena množina všech objektů statistického pozorování. Statistickým znakem nazýváme vlastnost, která je předmětem zkoumání daného statistického pozorování. Znaky dělíme na kvantitativní (například váha, výška, mzda, atd.) a na kvalitativní (například národnost, náboženství, pohlaví, apod.). Vidíme, že pokud se budeme bavit o průměru čísel, pak se jedná o znak kvantitativní. U kvalitativního statistického znaku nepočítáme průměry.

Charakteristiku polohy znaku můžeme nazvat střední hodnotou, která nám udává „průměrnou hodnotu“ sledovaného znaku. Nejde o to, jaký průměr použijeme, ale o to, co nám průměr charakterizuje. Vždy můžeme použít jakýkoliv průměr, ale při výběru konkrétního průměru je důležité myslet na to, jakou hodnotu nám má charakterizovat. Budeme-li chtít zjistit průměrný roční růst výroby za určité období, pak zvolíme průměr geometrický.

Mnoho úloh v matematice ve svém zadání obsahuje slovo průměr, ale již není specifikováno jaký průměr. Například úloha „Vypočtěte průměrnou hodnotu z čísel 150 a 200“ nám říká, že máme spočítat průměrnou hodnotu. Ale jakou průměrnou hodnotu? Ve většině případů je myšleno, že žáci mají spočítat aritmetický průměr hodnot 150 a 200. Pokud budeme uvažovat úlohu „Vypočtěte průměrnou rychlost automobilu, které jede z místa A do místa B konstantní rychlostí 80 km/h a zpět z místa B do místa A konstantní rychlostí 120 km/h.“, pak většina žáků použije pro výpočet průměrné rychlosti aritmetického průměru. Těmto žákům vyjde hodnota $100$ km/h. Je to správná hodnota? Podrobný výpočet provedeme v kapitole dále. Můžeme také uvažovat úlohu o pracovnících.

Úloha
Pracovník A danou práci udělá za 2 hodiny. Pracovník B provede tu stejnou práci za 3 hodiny. Za jak dlouho by danou práci udělal průměrný pracovník?

Žáci by opět ve většině případů použili aritmetický průměr čísel 2 a 3 a tvrdili by, že průměrný pracovník práci udělá za 2,5 hodiny. Následujícím výpočtem si předvedeme, že by neměli pravdu.

ŘešeníNejdříve si zjistíme, kolik dané práce každý z pracovníků udělá za jednu hodinu. Pracovník A udělá za hodinu $\dfrac{1}{2}$ práce a pracovník B udělá za hodinu $\dfrac{1}{3}$ práce. Za $x$ hodin provede pracovník A $\dfrac{x}{2}$ práce a pracovník B $\dfrac{x}{3}$ práce. Danou práci si můžeme označit $p$ . Sestavíme následující rovnici.

$p\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \right) = 2p$

Rovnice nám vystihuje naši situaci. Hledáme $x$ , což je počet hodin, které musí pracovat průměrný pracovník, aby udělal stejnou práci jako pracovníci A a B. Na pravé straně máme $2p$ , protože každý z pracovníků A a B udělají jednu práci $p$ .

Nyní vyřešíme rovnici, kterou jsme sestavili.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} p\cdot\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \right) & = & 2p \\\nonumber \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} & = & 2 \\ \dfrac{5x}{6} & = & 2\\ 5x & = & 12\\ x & = & \dfrac{12}{5}\\ x & = & 2,4 \end{array} \end{equation*}$

Žáci by spočítali, že průměrný pracovník danou práci zvládne za 2,5 hodiny. My jsme výpočtem ukázali, že průměrný pracovník by danou práci zvládl za 2,4 hodiny. Ke stejnému výsledku bychom došli, kdybychom spočítali harmonický průměr čísel 2 a 3.

Většina učitelů používá pro výpočet známky na pololetí aritmetického průměru. Je to ale dobře? Známce na vysvědčení říkají průměrná známka. Ale jakým průměrem je třeba ji spočítat, aby byla správná? Obecně nemůžeme říct, jaký průměr vzít na to, abychom dostali správnou známku. Do známky na klasifikaci má být zahrnuta i snaživost žáka, jeho chování v průběhu roku, plnění požadavků učitele, atd. Předvedeme si výpočet průměrné známky za pomocí aritmetického, geometrického a harmonického průměru. Nejprve si předvedeme rozdíly na malém souboru známek a následně na větším s větším rozdělením známek.

Prvně budeme počítat průměr ze známek 1 a 5.

Aritmetický průměr známek je $A\left(1,\ 5\right) = \dfrac{1+5}{2} = 3.$

Geometrický průměr známek je $G\left(1,\ 5\right) = \sqrt{1\cdot 5} = 2,236.$

Harmonický průměr známek je $H\left(1,\ 5\right) = \dfrac{2}{\frac{1}{1}+\frac{1}{5}} = 1,667.$

Pokud budeme počítat průměr ze dvou známek, pak dostaneme velké rozdíly při různé volbě průměru.

Průměr budeme počítat ze známek $\textbf{2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5}$ .

Aritmetický průměr známek je

$A\left(2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5\right) = \dfrac{2+2+2+2+3+3+3+5+5}{9} = 3.$

Geometrický průměr známek je

$G\left(2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5\right) = \sqrt[9]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5} = 2,806.$

Harmonický průměr známek je

$H\left(2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5\right) = \dfrac{9}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}} = 2,647.$

Budeme-li počítat průměrnou známku z většího souboru známek s větším rozdělením, nebudou rozdíly tak velké, ale stále budou patrné. Vždy záleží jen na učiteli, kterou variantu zvolí a jak bude k výpočtu průměrné známky přistupovat. Zda známku určí výpočtem, nebo přihlédne k dalším okolnostem, je na něm samotném.

Předvedli jsme, že pod slovem průměr může být schováno mnohem více, než jen aritmetický průměr. Vždy záleží na daném použití. Kdykoliv je možno aplikovat jakýkoliv z průměrů, ale také nám každý z nich může poskytnout jiné výsledky.