Řešené příklady

V následující části předvedeme řešení několika příkladů, které bude možné řešit pomocí výše zmíněných průměrů. k řešení příkladů dojdeme vždy logickou cestou a následně ukážeme jak použít průměry.

Úloha
Pomocí kružítka a pravítka sestroje úsečku délky $\sqrt{8}$ cm.

Řešení

Délku $\sqrt{8}$ můžeme napsat například jako $\sqrt{1\cdot 8}$ nebo jako $\sqrt{4\cdot 2}$ apod. Vybereme variantu zápisu $\sqrt{4\cdot 2}$ a na sestrojení úsečky dané délky použijeme Euklidovu větu o výšce. Sestrojíme úsečku $AB$ délky $4+2$ cm. Na úsečce vyznačíme bod $P$ , pro který bude platit $|AP|=4$ cm a $|BP|=2$ cm. Sestrojíme Thaletovu kružnici $\tau$ nad úsečkou $AB$ . v bodě $P$ sestrojíme kolmici $p$ k úsečce $AB$ . Průsečík přímky $p$ a kružnice $\tau$ označíme $C$ . Úsečka $PC$ má délku $\sqrt{8}$ . Obrázek níže celý příklad prakticky ukazuje.

Obrázek ukazuje, že se jedná o geometrický průměr čísel $2$ a $4$ . Lze se o tom přesvědčit zpětným ohlédnutím na obrázek uvedený v kapitole Geometrický důkaz, kde je zobrazena geometrická interpretace geometrického průměru.

Úloha (Cermat)

Za každý přestupek (A, B, C, D) je stanovena pevná výše pokuty.
Na prvním stanovišti byly udíleny pokuty za přestupky A, B, C, na druhém stanovišti jen za přestupek D.

V první tabulce je uveden počet zaznamenaných přestupků a průměrná výše pokuty za jeden přestupek na prvním stanovišti. Ve druhé tabulce jsou uvedeny údaje z obou stanovišť. Vypočtěte výši pokuty za jeden přestupek D.

Řešení

Budeme vycházet z první tabulky. Na prvním stanovišti byla průměrná výše pokuty 600 Kč a pokut bylo rozdáno 10. Na prvním stanovišti bylo vybráno 6000 Kč. Z druhé tabulky víme, že celková průměrná výše pokuty byla 900 Kč. Výši pokuty za přestupek A označíme $C_A$ , za přestupek B označíme $C_B$ , za přestupek C označíme $C_C$ a za přestupek D označíme $C_D$ . Celkovou průměrnou výši pokuty vypočteme jako

$\dfrac{5\cdot C_A + 3 \cdot C_B + 2 \cdot C_C + 5 \cdot C_D}{15} = 900.$

Z první tabulky jsme vyjádřili, že na prvním stanovišti bylo vybráno 6000 Kč. Spočítali jsme, že $5\cdot C_A + 3 \cdot C_B + 2 \cdot C_C + 5 = 6000$ . Nyní upravíme zlomek výše a dořešíme úlohu.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} \dfrac{5\cdot C_A + 3 \cdot C_B + 2 \cdot C_C + 5 \cdot C_D}{15} &=& 900\nonumber\\ \dfrac{6000 + 5 \cdot C_D}{15} &=& 900\\ 6000 + 5 \cdot C_D & = & 900 \cdot 15\\ 5 \cdot C_D & = & 7500 \\ C_D & = & 1500 \end{array} \end{equation*}$

Jeden přestupek D stál 1500 Kč. Pro výpočet jsme použili znalosti o aritmetickém průměru.

Úloha

Autobus cestuje mezi městy A a B. z města A do města B má autobus průměrnou rychlost $v_1$ . Na cestě zpět, z města A do města B, má autobus průměrnou rychlost $v_2$ . Vyjádřete celkovou průměrnou rychlost autobusu při cestě tam a zpět.

Řešení

Čas, který autobus potřebuje na zdolání cesty z města A do města B označíme $t_1$ a jeho rychlost na této cestě označíme $v_1$ . Obdobně označíme jako $t_2$ čas, který autobus potřebuje na překonání zpáteční cesty z města B do města A. Rychlost na zpáteční cestě označíme $v_2$ . v obou případech bude cesta stejně dlouhá, proto ji označíme jednotně jako $s$ .
Průměrnou rychlost $v$ vypočítáme pomocí vzorce $\textrm{rychlost}=\dfrac{\textrm{draha}}{\textrm{cas}}$ . V našem příkladě je dráha $s + s = 2s$ a čas je $t_1+t_2$ . Dosadíme do vzorce.

$v = \dfrac{2s}{t_1+t_2} = \dfrac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}} = \dfrac{2s}{\frac{sv_2 + sv_1}{v_1v_2}}=\dfrac{2sv_1v_2}{s\left(v_1+v_2 \right)} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

Průměrná rychlost autobusu je $\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ . Tato hodnota je harmonickým průměrem průměrem hodnot $v_1$ a $v_2$ .

Úloha

Dokažte, že pro libovolné kladné číslo platí, součet hodnoty čísla a hodnoty reciproké je alespoň 2. Pro jakou hodnotu nastává rovnost?

Řešení

Při dokazování využijeme aritmeticko geometrické nerovnosti (AG nerovnost). Víme, že platí vztah $\textbf{A}\geq \textbf{G}$ a toho nyní využijeme.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} \dfrac{x+\frac{1}{x}}{2} & \geq & \sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}} \\\nonumber \dfrac{x+\frac{1}{x}}{2} & \geq & \sqrt{1} \\ \dfrac{x+\frac{1}{x}}{2} & \geq & 1 \\ x+\frac{1}{x} & \geq & 2 \\ \dfrac{x^2+1}{x} & \geq & 2,\ \qquad\textrm{vynásobíme $x$, $x>0$ }\\ x^2 + 1 & \geq & 2x\\ x^2-2x+1 &\geq & 0 \\ \left(x-1 \right)^2 &\geq & 0 \end{array} \end{equation*}$

Druhá mocnina čísla je vždy kladná. Tím jsme dokázali, že daná nerovnost platí. Nyní lehce dořešíme kdy se součet bude rovnat číslu 2.

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2} \begin{array}{rcl} \left(x-1 \right)^2 & = & 0 \\\nonumber x & = & \pm 1 \end{array} \end{equation*}$

V zadání jsme měli, že počítáme s kladnými čísly. Při výpočtu jsme stanovili podmínku $x>0$ . Díky těmto podmínkám máme pouze jeden výsledek a tím je $x=1$ . Můžete se přesvědčit sami, že $1+\dfrac{1}{1} = 2$ .

Úloha

Obrázek níže znázorňuje pravoúhlý trojúhelník $ABC$ . Nalezněte vyznačenou výšku $h$ .

Řešení

Nejprve označíme úhly v trojúhelníku a patu výšky $h$ .

Víme, že trojúhelník $ABC$ je pravoúhlý, takže platí $\alpha + \beta = 180^{\circ}$ . Díky tomu víme, že úhel $ACP$ musí být stejný jako $\beta$ a úhel $PCB$ musí být stejný jako úhel $\alpha$ . Výška $h$ nám trojúhelník $ABC$ rozdělila na dva trojúhelníky. Trojúhelníky $ABC$ , $APC$ a $PBC$ jsou podobné.

Nyní vezmeme v úvahu poměr $\dfrac{\textrm{protejsi strana uhlu } \beta}{\textrm{protejsi strana uhlu } \alpha}$ v trojúhelníku $APC$ a v trojúhelníku $PBC$ . Jelikož trojúhelníky $APC$ a $PBC$ jsou podobné, pak poměr bude stejný.

$\dfrac{\textrm{protější strana úhlu } \beta}{\textrm{protější strana úhlu } \alpha} = \dfrac{50}{h} = \dfrac{h}{18}$

Vyřešíme rovnici vzhledem k neznáme $h$ .

$\begin{equation*} \arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{1.4} \begin{array}{rcl} \dfrac{50}{h} &=& \dfrac{h}{18}\\\nonumber h^2 & = & 50\cdot 18\\ h^2 & = & 900\\ h & = & \pm 30 \end{array} \end{equation*}$

Jelikož počítáme výšku, pak uvažujeme pouze kladný kořen dané rovnice. Ti pozornější si všimnou, že daná výška $h$ je geometrickou interpretací geometrického průměru. Výsledná výška je geometrickým průměrem čísel 50 a 18. Ověříme výpočtem. $G\left(18,50 \right) = \sqrt{18\cdot 50} = \sqrt{900} = 30$ .

Úloha

Nalezněte obdélník s největším obsahem, který má obvod $o = 20$ cm.

Řešení
Strany obdélníku označíme $a$ a $b$ . Obvod vypočítáme jako $o=2\cdot\left(a+b \right)$ a obsah jako $S=a\cdot b$ . Hledáme hodnoty $a$ a $b$ takové, že jejich součin je co největší a součet je roven polovině obvodu.Součet stran $a$ a $b$ je polovina obvodu, tj. 10 cm. Hledáme hodnoty $a$ a $b$ tak, aby jejich součin byl co největší. Pro lepší názornost předvedeme obrázek, kde úsečka $AB$ má délku 10 cm. Na úsečce leží bod $C$ , který danou úsečku rozděluje na dvě úsečky. Úsečka $AC$ představuje hodnotu $a$ a úsečka $BC$ představuje hodnotu $b$ . Nad úsečku $AB$ je sestrojena Thaletova kružnice $\tau$ , na níž leží všechny body, které by s body $A$ a $B$ tvořili pravoúhlý trojúhelník $ABC$ . K úsečce $AB$ je sestrojena kolmice, která protíná Thaletovu kružnici $\tau$ v bodě $D$ . Velikost úsečky $CD$ je $\sqrt{a\cdot b}$ . Vedle úsečky je sestrojen obdélník $A'B'C'D'$ , kde $|A'B'|=a$ a $|B'C'|=b$ . Pod obdélníkem je vypočítán jeho obsah.

Různou volbou polohy bodu $C$ dostaneme rozdílné hodnoty $a$ a $b$ . Díky tomu máme i jiný obsah.

Snažíme se volit hodnoty $a$ a $b$ tak, aby byl obsah co největší. Očividně bude obsah největší tehdy, když délka úsečky $CD$ bude největší. Tento případ nastane, bude-li bod $C$ ležet přesně uprostřed mezi body $A$ a $B$ .

Interaktivní obrázek zde

Z úlohy plyne, že ať bychom zvolili jakékoliv dvě čísla $a,\ b$ , které dávají dohromady součet 10, tak největší součin $a\cdot b$ bude mít vždy volba $a=b=5$ . Pozorný čtenář si všimne, že toto tvrzení jsme již definovali při představování aritmetického průměru jako funkce dvou proměnných v části kvaziaritmetický průměr Také jsme hledali čísla $x,\ y$ tak, aby jejich součet byl roven zadané hodnotě a aby jejich součin byl co největší.

Poznámka
Danou úlohu lze naformulovat i obecně, ne pro konkrétní délku. Poté je ukázka řešení složitější. v obecné rovině lze řešení předvést tak, že délku jedné strany zvolíme $x$ a délku druhé strany zvolíme $\dfrac{o-2x}{2}$ . Následně budeme mít funkci $S\left(x \right)=x\cdot\dfrac{o-2x}{2}$ . Pomocí derivací zjistíme zda funkce nabývá maxima a případně v jakém bodě. Došli bychom k závěru, že funkce nabývá maxima v bodě $\dfrac{o}{4}$ . Tím bychom ukázali, že strana $a$ má velikost jedné čtvrtiny obvodu. Druhá strana má velikost také čtvrtinu obvodu. Díky stejné velikosti stran víme, že se největší obsah bude mít čtverec.

Úlohu lze obecně definovat jako nalezení n-úhelníku daného obvodu s největším obsahem. Touto problematikou se zabývají izoperimetrické nerovnosti o kterých si čtenář může více přečíst zde.

Daná práce podrobně pojednává o izoperimetrických nerovnostech pro trojúhelníky, čtyřúhelníky a pro n-úhelníky. Obecně lze říci, že aby n-úhelník daného obvodu měl co největší obsah, pak musí být pravidelný.

Pokud bychom se neomezovali na n-úhelníky, pak by rovinným obrazcem daného obvodu a největšího obsahu byl kruh.